Моделирование индивидуальных тарифов РКО

М.В. Вигдорович,
доктор физико-математических наук

Введение

Российский экономический кризис 1998-го года в числе всего прочего существенно изменил и рейтинг доходности банковских услуг и продуктов. В одночасье оказались заморожены финансовые рынки, рухнула кредитоспособность предприятий, и одним из основных источников дохода банков неожиданно стало расчетно-кассовое обслуживание клиентов. Занимавшее до той поры положение нелюбимой падчерицы, от которой, несмотря ни на что, нельзя избавиться, РКО в дни кризиса было сделано устоявшими банками инструментом PR-кампаний. Новые тарифы, не отличавшиеся в те дни особой толерантностью по отношению к клиентам, как бы говорили: «Мы – крепкий банк, и за возможность держать у нас деньги и пользоваться нашими услугами вам придется платить… если только вы не хотите, чтобы ваши деньги пропали там, откуда вы можете перевести их к нам». Спустя некоторое время часть традиционного банковского бизнеса стала возвращаться на прежние позиции, но расчетно-кассовое обслуживание не отступало.

Сопровождаемое общим снижением ставок доходности отечественного банковского бизнеса, в результате постоянного мониторинга и корректировки тарифов РКО стало стандартным финансовым инструментом получения доходов банков наравне с другими направлениями коммерческой деятельности. Как следствие этого, оказалось целесообразным предоставлять активно работающим клиентам возможность осуществлять операции не по стандартной тарифной сетке, а по индивидуальным тарифам. Это позволило удержать клиентов, приносящих банку значительный доход, путем уменьшения его суммарных расходов на обслуживание, но вместе с тем сохранив их на весьма высоком уровне по сравнению с клиентами из общей массы. Стандартная процедура в этом отношении имеет следующий вид: клиент сообщает те или иные свои пожелания, финансово-аналитическая служба производит оценку объемов и количества операций и вычисляет их суммарную себестоимость, после чего подбирает такие тарифы, которые обеспечивают приемлемое для клиента снижение общих расходов на РКО при сохранении приемлемой для банка маржи. В этой ситуации на первые роли выходит фигура клиентского менеджера, который обязан знать особенности бизнеса своего клиента, его финансовые возможности и способность нести те или иные расходы при обслуживании – с тем, чтобы воздействовать на клиента в интересах банка и сводить позиции сторон «к общему знаменателю».

Целью настоящей статьи является формулировка одного из возможных механизмов формирования индивидуальных тарифов, удовлетворяющего условиям приемлемости для клиента и банка. В нижеследующих разделах приведены модель тарификации, результаты тарификации на примере модельных клиентов и банка, а также обсуждение полученных результатов и путей повышения соответствия модели реальным условиям банковского бизнеса.

Модель тарификации

Пусть  - матрица тарифов расчетно-кассового обслуживания клиентов, где индекс i нумерует клиентов банка, j – виды РКО (например, переводы, валютный контроль и т.д.). Матрица P определяет, по какой цене i-й клиент оплачивает j-ю услугу РКО банка. В случае, если i0-й клиент оплачивает услуги РКО банка в соответствии со стандартной тарифной сеткой, для такого тарифа в качестве верхнего индекса будем использовать «0»: . Так, если бы индивидуальных тарифов не было, матрица тарифов РКО имела бы вид . Обозначим посредством  вектор некоторых объемов (количества) операций (далее – вектор операций) по видам РКО. Тогда произведение

                                                                                         (1)

– это вектор, компоненты которого vi представляют собой комиссионный доход, получаемый от i-го клиента в соответствии с его тарифами, содержащимися в матрице P, при объемах (количестве) операций, определяемых вектором операций K.

Следствием введения индивидуального тарифа является снижение в разумных, с точки зрения банка, пределах расходов наиболее активных (далее – элитных) клиентов на обслуживание. Отражением этого факта является соотношение

,

где V0 – вектор комиссионного дохода в случае, когда все клиенты обслуживаются по стандартным тарифам, а вектор V соответствует случаю, когда в матрице P присутствуют индивидуальные тарифы, норма вектора  определяется простой суммой компонент вектора и соответствует общему доходу банка от РКО.

Для определения маржи банка помимо матрицы тарифов необходимо еще определить матрицу себестоимости видов РКО , обладающую свойством  для произвольных i1 и i2, т.е. себестоимость видов РКО не зависит от того, какому клиенту оказываются услуги. Вектор M маржи банка рассчитывается по уравнению

.                                                                                                         (2)

i-я компонента вектора  определяет маржу банка при обслуживании i-го клиента с вектором операций K.

Модель тарификации должна дать ответ на следующий вопрос: как сформировать индивидуальные тарифы для обслуживания элитного клиента, который при сложившихся у него объемах (количестве) операций готов платить банку за свое обслуживание не более , и который перестанет быть элитным в случае, если доход  от него становится меньше некоторой величины :

,

причем эта минимальная величина  должна, очевидно, превышать себестоимость осуществления такого объема операций (по повторяющимся индексам проводится суммирование):

для любого KÎJ, J – множество характеризующихся типичными объемами (количеством) наборов операций клиента в стандартном отчетном периоде (определенное, например, в результате анализа нескольких отчетных периодов в прошлом). За информацию относительно  отвечает клиентский менеджер, а величина  рассчитывается финансово-аналитической службой на основании известной себестоимости услуг и принципов тарифной политики банка.

Проиллюстрируем вышесказанное на примере условного банка, обслуживающего 3 клиентов, причем ассортимент услуг РКО включают 4 вида операций:

1)   перевод средств в пользу клиентов других банков (по стандартному тарифу 3.5 у.е, себестоимость 1.5 у.е),

2)   перевод средств в пользу клиентов своего банка (по стандартному тарифу осуществляется бесплатно, себестоимость 1.3 у.е),

3)   платеж по аккредитиву (30 у.е., 14 у.е.),

4)   оформление паспорта сделки (35 у.е., 17 у.е.).

Матрица стандартных тарифов P0 такого банка имеет вид:

,

все значения денежных единиц приведены в некоторых условных единицах. Поскольку матрица стандартных тарифов одинакова для всех клиентов, она содержит одинаковые столбцы. Тем же свойством обладает и матрица себестоимости Q:

.

Предположим, что вектора операций клиентов K(i) имеют следующий вид:

,

,

.

Используя эту информацию, по уравнениям (1) и (2) соответственно можно рассчитать вектор комиссионного дохода и вектор маржи банка:

,

.

Механизм формирования индивидуальных тарифов

Прежде чем формировать индивидуальные тарифы, необходимо определить признак, при котором клиент становится элитным, т.е. имеет право на тарификацию по индивидуальным правилам. Для простоты и конкретности будем считать, что клиент имеет право на обслуживание по индивидуальным тарифам по определенному виду РКО, если он совершает по данному виду больше некоторого количества операций. Применительно к рассматриваемому здесь условному банку примем, что такое минимальное количество операций вида 1 и 2 равно десяти, а вида 3 и 4 – четырем. Сразу отметим, что, в соответствии с данным критерием, клиент 3 элитным не является и, таким образом, выпадает из дальнейшего рассмотрения.

Пусть, кроме того, менеджерами элитных клиентов определены максимально допустимые расходы по РКО, на которые согласятся соответствующие клиенты при их обслуживании в банке. Предположим, эти расходы составляют  у.е. (для клиента 1) и  у.е. (для клиента 2).

Задача формирования индивидуальных тарифов, которые позволили бы максимизировать доход банка и удержать при этом расходы клиентов на обслуживание в заданных пределах, состоит в том, чтобы подобрать такие pij, при которых для элитного клиента i0 функция

                                                                                                 (3)

принимала наибольшее значение на множестве J.

Для решения этой задачи предположим, что индивидуальный тариф для клиента i0 по определенному виду РКО не должен сильно отличаться от стандартного тарифа, т.е.

.                                                                                                                  (4)

Отметим, что в противном случае индивидуальный тариф может оказаться близким к себестоимости данного вида РКО, что приведет к недопустимо малой марже банка или даже сделает ее отрицательной. Более точные критерии допустимой приблизительности равенства (4) определяются субъективно ответственными менеджерами банка, а соответствующая картина станет ясной по ходу дальнейшего изложения.

В соответствии с приближенным равенством (4), представим зависящий от количества операций kj индивидуальный тариф в виде ряда Тейлора в точке, равной минимально допустимому для перехода в разряд элитных клиентов количеству операций , и ограничимся первыми двумя слагаемыми в таком разложении:

.

С учетом обозначения  и того, что  (стандартный тариф), преобразуем последнее уравнение к виду:

.                                                                                      (5)

Отметим здесь, что величина  имеет отрицательный знак, поскольку с увеличением объемов (количества) операций цена единичной операции должна снижаться. С учетом этого подставим уравнение (5) в (3) и получим следующее неравенство:

.                                                                                   (6)

Из приближенного неравенства (4) вытекает требование . Таким образом, логичным следствием построенной модели является отсутствие необходимости в индивидуальном тарифе, если малό (к примеру, равно 1 или 2).

Задача определения наименьшего значения функции

                                                                                             (7)

на множестве J, удовлетворяющей неравенству (6), с учетом приближения (4) эквивалентно заменила задачу (3). Для построения механизма определения индивидуальных тарифов необходимо некоторым образом указать величину , которая определит закон изменения тарифа (начиная от стандартного) при изменении объемов (количества) операций. Для этого введем параметры ai и aij в соответствии со следующим уравнением:

,                                                                               (8)

где тэта-функция определяется в соответствии с условиями:

.

Таким образом, в соответствии с уравнениями (5) и (8) определен закон изменения тарифа, обратно пропорциональный количеству операций: при превышении минимального значения, позволяющего вводить индивидуальный тариф, тариф асимптотически уменьшается до минимального значения. Впрочем, такое асимптотическое поведение практического интереса не представляет, поскольку при этом маржа банка заведомо станет отрицательной. Другой особенностью механизма (8) является то, что параметр ai одинаков для всех видов РКО, что сделано исключительно в целях упрощения.

Уравнения (6) и (8) позволяют рассчитать значение наименьшее значение ai, при котором доход банка от клиентов будет равен значениям , указанным клиентскими менеджерами:

.                                                                                                    (9)

Сам индивидуальный тариф при этом рассчитывается по уравнению

.                                                                                         (10)

В результате расчетов по уравнению (10) получены следующие значения индивидуальных тарифов для клиентов 1 и 2, а также соответствующие доход и маржа банка:

Клиент

РКО 1

РКО 2

РКО 3

РКО 4

Доход

Маржа

1

1.46 у.е.

0.00 у.е.

30.00 у.е.

31.38 у.е.

400.00 у.е.

161.60 у.е.

2

3.50 у.е.

0.00 у.е.

26.94 у.е.

29.17 у.е.

500.00 у.е.

218.90 у.е.

 

3.50 у.е.

0.00 у.е.

30.00 у.е.

35.00 у.е.

Ü стандартные тарифы

 

Из таблицы следует, что индивидуальный тариф «включается» при превышении заранее заданного граничного количества операций. Отметим значительное снижение тарифа для клиента 1 по первому виду РКО: разница составляет 1.54 у.е. Приемлемо это на практике или нет – решать финансовым менеджерам конкретного банка на основании представлений о достаточности маржи при таком тарифе для данного вида операции (в таблице не указана) и в целом для клиента. Столь значительное снижение тарифа является следствием того, что превышение граничного количества операций  соизмеримо с самим . Исходные данные, при которых проявляется этот эффект, использованы здесь намеренно. В реальной практике, однако, если  принимать значения порядка 100, при  около 10-20 данный эффект будет не слишком выражен. Существенно бόльшие  при операциях элитного клиента – повод для пересмотра максимально допустимых расходов клиентов на РКО, определенных клиентским менеджером.

Заключение

В настоящей статье представлен механизм формирования индивидуальных тарифов РКО для клиентов, который, по сути, представляет собой инструмент анализа деятельности  клиента в части, связанной с РКО. Изложение в целях конкретности и ясности было существенно упрощено в  отношении, в частности, следующих аспектов:

          в реальной жизни тарифы РКО имеют более сложную структуру по сравнению с рассмотренной здесь. В статье предполагается, что каждый тариф имеет фиксированное значение по отношению к количеству операций, тогда как реальный тариф может иметь, к примеру, следующий вид: некоторый процент от объема совершаемой операции, но не более и не менее некоторых величин. В рамках построенной модели это может быть учтено заменой элементов матрицы , участвующих в арифметических операциях, на операторы ;

          в статье четко не указано, как определить вектор операций K(i) клиентов, использующийся для оценки их активности по РКО. Очевидно, здесь могут использоваться разные подходы: усреднение каким-либо статистическим методом соответствующих векторов операций за прошедшие периоды, или выбор минимального из них, или что-то третье.

В завершение оговорим область применения метода. Хотя в уравнениях (4) и (5) явно используется малость отклонения количества клиентских операций от минимально установленного значения для перехода клиента в разряд элитных, а также малость отличия индивидуального тарифа от стандартного, полученный результат, как это часто случается, применим в существенно более широкой области значений тарифов и количества (объемов) операций. Практическим индикатором необходимости пересмотра параметров индивидуального тарифа является соотнесение дохода от клиента с себестоимостью всего объема совершаемых им операций, т.е. анализ маржи банка.